Dimostrazione alternativa del Teorema di Pitagora

Si racconta, ma è leggenda, che Pitagora abbia scoperto il suo teorema mentre stava aspettando di essere ricevuto da Policrate. Seduto in un grande salone del palazzo del tiranno di Samo, Pitagora si mise ad osservare le piastrelle quadrate del pavimento. Se avesse tagliato in due una piastrella lungo una diagonale, avrebbe ottenuto due triangoli rettangoli uguali. Inoltre l’area del quadrato costruito sulla diagonale di uno dei due triangoli rettangoli risultava il doppio dell’area di una piastrella. Questo quadrato risultava infatti composto da quattro mezze piastrelle, cioè da due piastrelle. Ma i quadrati costruiti sugli altri lati del triangolo corrispondevano ognuno all’area di una piastrella.

fig12

 In altre parole il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti.
Una delle dimostrazioni più conosciute giunge dall’Arabia: la dimostrazione di Thabit ibn Qurra Marwan al’Harrani.
fig21
I triangoli ABC, CEH, CEM, BGD, EGL, AFL sono tutti equivalenti.
Inoltre, il poligono ABDEF può essere scomposto in due modi diversi:
  1. ABDEF=ACMF+BCHD+ABC+CEH+CEM
  2. ABDEF=ABGL+BDG+EGL+AFL
Dall’uguaglianza delle due relazioni e dall’equivalenza dei triangoli indicati, ricaviamo che il quadrato ABGL è quivalente alla somma dei quadrati ACMF e BCDH.
Quindi:

AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}

Esistono poi anche delle dimostrazionei pratiche del teorema di Pitagora che fanno uso di recipienti comunicanti. Esempio:
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